微分

微分とは?

微分とは簡単に言えば「変化の分析」のことです。

では、変化とはどういうものでしょう?

  • 曲線の変化がいわゆる「傾き」
  • 位置の変化がいわゆる「速度」
  • 速度で変化がいわゆる「加速度」

となります。

曲線の傾き

曲線の傾きを求めるには、「どの時点」かを決める必要があります。

直線の傾きは常に一定なので、「どの時点」が問題になることはありませんが、曲線の傾きは常に変化するので、「どの時点」が問題となるのです。

曲線において、特定の点の傾きを「瞬間の傾き」といいます。

傾きを求めるには2点が必要です。瞬間の傾きとはその2点を特定の時点に限りなく近づけたときの傾きのことを指します。

 

極限と極限値

「限りなく」というのは、一致はしないけど可能な限り近づけることを意味します。ただし、どんなに近づけてもイコールにはなりません。

このように、一致しないけど限りなく近づけるときの考え方を「極限」と呼びます。ある関数が極限において近づく値のことを極限値と呼びます。

「x→極限」のように表します。

極限への近づき方

極限に対してプラス側から近づくか、マイナス側から近づくか、2通りの近づき方があります。

近づき方によって極限値が変わるケースがありますが、この場合は極限値は存在しません。

x→0 とだけ記述すると、どっちの方向から近づくのかわかりません。

そこで、近づく方向が大切な場合は、x→+0(プラス側から近づく)、x→-0(マイナス側から近づく)のように記述します。

連続・非連続

ところで、極限がある場合にも、次の2通りのパターンがあります。

  1. 極限があり、極限値が関数にxの極限を代入した値と等しい
  2. 極限があり、極限値が関数にxの極限を代入した値と等しくない

1の場合を特に、関数は「連続である」と言います。
2の例は、(x^2 – 3x + 2) / (x – 1) です。この関数は、x=1において値が存在しませんが、極限は存在します。「非連続である」と言います。

 

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